Varga100-konferenssi ja Anni Lampinen

Varga100-konferenssissa torstaina 7.11.2019 Anni Lampinen piti työpajan, joka keräsi salin täyteeen kiinnostuneita kuulijoita. Koska kyseessä matemaatikan tutkijoiden tapaaminen, oli Anni valinnut aiheeksi binääriluvut.

Luentosalin kaikki paikat olivat täynnä kiinnostuneita osallistujia.

Paja alkoi kaikille Varga-Neményi-menetelmän 3. luokan kurssin käyneille tutulla tehtävällä. Osallistujat saivat kukin kourallisen linkkikuutioita, joista heidän piti rakentaa kolmen palikan torneja. Kolme tornia sai yhdistää levyksi ja lopulta kolme levyä kuutioksi. 

Kun jokainen oli rakentanut torneja, levyjä ja kuutioita omista linkkikuutioistaan, kirjattiin kolmijärjestemälukuja taululle. Seuraavaksi ensin pöytäryhmän jäsenet yhdistivät linkkikuutionsa yhteen ja lopulta kaikki työpajan osallistujat yhdistivät linkkikuutionsa ja pääsimme todella suureen lukuun.

Tämä linkkikuutioilla tehty harjoitus toimi toimintavälinetason harjoituksena eri lukujärjestetelmistä.

Linkkikuutioilla rakentelun jälkeen osallistujat saivat tehdä Matematiikkaa 2a-kirjan inventaariotehtäviä ja pakata karkkeja pusseihin, rasioihin ja laatikoihin.

Seuraavaksi Anni opetti osallistuja laskemaan sormilla binäärilukuja. Tämä oli monelle osallistujalle jo hyvin haastavaa, osaatko sinä?

Sormilla laskemisen jälkeen kokeilimme binääriluvuilla laskemista siten, että pöytäryhmät muodostivat tuoleistaa rivin ja jokainen rivissä edusti yhtä sormea ja taas laskettiin.

Samanrakenteinen työskentely jatkui linkkikuutioiden ja paperille rakennetun taulukon avulla. Taulukon ruudut esittivät binäärilukujen paikkajärjestelmää. Ensimmäinen linkkikuutio asetettiin ensimmäiseen ruutuun, seuraavaksi lisättiin toinen kuutioa ja nämä kaksi kuutiota siirrettiin alustalla seuraavalle paikalle. Kolmas kuutio asetettiin jälleen taulukon kolmanteen ruutuun, kunnes lisättiin neljäs ja neljä linkkikuutiota löysi paikkansa taulukon kolmannesta ruudusta. 

Kun binäärilukuja oli harjoiteltu näin monella eri tavalla, saivat osallistujat tehtäväkseen kirjoittaa binäärilukuja järjestyksessä. 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1011, 1100, 1101, 1111 jne...

Roskispeliä pelattiin myös binääriluvuilla. Annilla oli kortit, joihin oli merkitty binäärilukuja (kymmenjärjestelmän luvut 1-32 binäärilukuina). Jokainen osallistuja piirsi itselleen viiden ruudun taulukon, johon arvotut binääriluvut kirjattiin tavoitteena saada kaikki ruudut täyteeen siten, että luvut ovat suuruusjärjestyksessä. Ne luvut, jotka eivät sopineet enää omaan taulukkoon, laitettiin roskikseen.

Roskis-peli

Pajan päätteeksi pelasimme tuttua ja aina innostavaa kynänryöstö-peliä. Osallistujat muodostivat neljän pelaajan ryhmiä, joissa kaikilla pelaajilla oli oma paperi, mutta pöydällä oli vain yksi kynä. Lisäksi pelissä oli kaksi noppaa. Pelaajat heittivät noppia vuorotellen, mikäli pelaaja heitti kutosen sai hän napata kynän ja alkaa kirjoittaa lukuja paperilleen. Lukuja sai kirjoittaa, kunnes joku muu pelaaja sai kutosen ja ryösti kynän kirjoittajalta. Tavoitteena pelissä on päästä yhdessä sovittuun lukuun.

Alkuperäisenä ajatuksena Annilla oli peluuttaa roskista binääriluvuilla, mutta tällainen eri lukujärjestelmillä leikkiminen osoittautui myös matemaatikoille yllättävän vaikeaksi ja peliporukat päätyivät pelaamaan roskista kahden monikertoja kirjoittaen. 

..................................

Eli lukujärjestelmillä työskentely on hedelmällistä ja pistää etenkin meidän aikuisten ajatukset helposti solmuun, kuten tässä työpajassa huomasi. Paikalla oli matemaatikkoja, mutta isolle osalle heistä eri lukujärjestelmillä leikkiminen ei ollut tuttua ja sen takia sen tuntui vaikealta. 

Tamas Varga ja Eszter Neményi molemmat ovat kuitenkin painottaneet eri lukujärjestelmillä työskentelyn tärkeyttä. Voidakseen ymmärtää kymmenjärjestelmää tulee, ymmärtää myös muita lukujärjestelmiä. Varga-Neményi-menetelmässä 2. luokalla ennen kymmenjärjestelmään tutustumista lasten kanssa leikitään eri lukujärjestelmillä. Lasten kanssa leikitään karkkitehtaan inventaariota, jossa karkkeja pussitetaan, sitten pusseja laitetaan isompiin myyntipakkauksiin ja lopuksi kuljetusta varten isompiin laatikoihin. Lapset saavat monipuolisesti kokemuksia toiminnasta ja yhdessä koetusta keskustellaan lapsen tasolla. Nämä kokemukset luovat pohjaa ymmärtää muita lukujärjestelmiä. Karkkitehdas leikkien päätteeksi karkkeja pussitetaan ja pakataan kymmenen pakkauksiin ja sitä kautta tutustutaan meille kaikille tuttuun kymmenjärjestelmään.

Inventaariot ovat monelle opettajalle vaikeita, itsekin koin ne todella vaikeiksi aluksi. Eihän meille ole perinteisesti opetettu työskentelyä eri lukujärjestelmillä. Kannustan kuitenkin rohkeasti tekemään harjoituksia eri lukujärjestelmillä oppilaiden kanssa! 

Lisäksi, vaikka äkkiseltään ajatus binääriluvuilla ja muilla kantaluvuilla leikkimisestä kuulostaa irralliselta toiminnalta, ovat eri lukujärjestelmillä työskentely yhteydessä esimerkiksi jaollisuuteen. Olen ollut useammassa Eszter Neményin koulutuksessa, joissa melkein aina jotenkin päädytään eri lukujärjestelmiin!

Annin työpajassa tuli mielestäni erinomaisesti esiin Tamas Vargan ajatukset matematiikan opettamisesta. Pelien ja leikkien tulisi olla keskeinen osa niin lasten, nuorten kuin aikuistenkin oppimista. Itse ja yhdessä kaverin kanssa tehden, kokeillen ja oivaltaen löydämme matematiikkaa ympäriltämme.

Lisäksi työpajan harjoituksissa tuli hyvin esiin samanrakenteisten harjoitusten tärkeys. Osaaminen kehittyi vähitellen innostuksen säilyessä, kun samaa asiaa harjoiteltiin monella eri välineellä.

Varga100-konferenssi ja Agnes Konradin työpaja

Osallistun tällä viikolla Varga100-konferenssiin Budapestissa. Varga Tamasin syntymästä on kulunut sata vuotta ja sen juhlistamiseksi Unkarissa järjestetään kansainvälinen seminaari. Osallistujia seminaarissa on noin 130 ja vieraita on 18 eri maasta. Yhdessä Anni Lampisen kanssa edustamme Suomea ja Varga-Neményi ry:tä.

Seminaarin avajaisissa kuulimme mielenkiintoisen luennon Tamas Vargasta ja opin hänestä ja hänen työstään monta uutta asiaa. Lisäksi tänään sai ensi esityksensä 55 minuuttia pitkä dokumentti Varga Tamasista. Dokumentti oli erittäin mielenkiintoinen, toivottavasti pääsemme esittämään sen Suomessa esimerkiksi Varga-Neményi ry:n kesäseminaarissa.

Mielenkiintoisin osuus tänään oli kuitenkin Agnes Konradin työpaja. Olen seurannut Agnesin oppitunteja ja osallistunut hänen pitämiinsä koulutuksiin aiemminkin, enkä kertaakaan ole joutunut pettymään. Tänään pitkän päivän lopussa alkoi väsymys jo painaa, mutta Agnesin työpajassa väsymys katosi ja aika kului kuin siivillä!

Työpajan aiheena oli mittaaminen ja mittayksikkö muunnoksen. Agnes toi hienosti esille sen, kuinka mittaaminen ja mittayksikkö muunnokset kehittyvät ensimmäiseltä luokalta neljännelle luokalle. Tosin osan näistä harjoituksista voisi hyvin meillä tehdä viidennelläkin luokalla.

Ekaluokkalaisten harjoituksissa tutkimme lattialle asetettuja papereita, jotka esittivät saarta ja sen keskellä olevaa aarretta. Meidän piti arvioida, mikä polku aarteen luokse olisi pisin. Kun arvioinnit oli tehty ja ajatukset perusteltu, saimme narua ja mittasimme jokaisen polun. Narut leikattiin polkujen mittaisiksi ja sitten vertailimme narujen pituuksia. Olimme päätelleen oikein, että vihreä polku oli pisin.

Seuraavaksi meitä pyydettiin arvioimaan kuinka monen jalan pituisen kukin polku olisi. Koska aikuisten jalat ovat niin erikokoisia, oli Agnesilla jalankuvia, jotka toimivat mittayksiköinä. Kun arviot oli kirjattu ylös, mittasimme jalankuvan ja langan avulla pituuden.

Lopuksi teimme piirin ja Agnes pyysi yhtä osallistujaa kerrallaa tulemaan hänen luokseen tasapitkillä askelilla, joiden lukumäärä oli aina määrätty. Näin harjoiteltiin arvioimaan pituutta ja pohtimaan mittayksikön kokoa, jotta oikea määrä askelia täyttyisi.

Pituuden mittayksiköitä ja mittaamista harjoiteltiin myös paperisuikaleilla. Jokaisella pöytäryhmällä oli oma paperisuikale, saman pituinen kaikilla. Jokainen ryhmä sai kuitenkin eri välineet mittaamiseen: meillä oli pieniä keltaisia kiekkoja, naapuripöydässä klemmareita, yhdellä ryhmällä loogisten palojen isoja neliöitä jne.

Kun kaikki olivat mitanneet, merkittiin kunkin ryhmän mittaustulos taululle, mutta ei vielä kerrottu mittavälinettä. Kävimme keskustelua mittalukujen erilaisuudesta. Sen jälkeen Agnes paljasti taululla käytetyt mittayksiköt. Sen jälkeen meidän piti päätellä mikä mittaustulos oli tehty milläkin mittavälineellä.

Seuraavaksi arvioimme esineiden massaa. Agnesilla oli erilaisia tuotteita pöydällä ja meidän tehtävänämme oli arvioida mitkä tuotteet kassiin pakkaamalla saataisiin 500 g painava ostoskassi. Tehtävä oli mielenkiintoinen. Arviot tarkastettiin digitaalivaa´alla. Oppilaiden kanssa ottaisin käyttöön tasapainovaa´an ja punnukset, jotta oppilaat voivat niiden avulla tunnustella miltä 500 g tuntuu.

Seuraavaksi tutkimme tilavuutta. Ensimmäinen haaste oli selvittää montako teelusikallista vettä mahtuisi pieneen lasipurkkiin, joka oli pöydällä. Tämä tehtävä oli haaste eri pöytäryhmien välillä, kuka selvittää asian nopeimmin. Ei siis muuta kuin mittaamaan ensin kuinka monta teelusikallista menee ruokalusikkaan, entä kuinka monta ruokalusikallista on 4 cl lääkemitta. Pääsimme nopeimpina Annin kanssa lopputulokseen: 100 teelusikallista mahtuu lasipurkkiin. Eli taas teimme mittayksikkömuunnoksia, vaikka mitään virallisia mittayksiköitä ei vielä ole ollut käytössä ollenkaan.

Vaaleanpunaisilla värisauvoilla rakensimme valitsemamme rakennuksen ja laskimme käytettyjen palikoiden määrää. Lapsi laskee aluksi yksittäin, mutta vähitellen hänkin alkaa laskea ryhmissä, kuten me aikuiset. Samoja vaaleanpunaisia värisauvoja käytettiin myös pienen pahvirasian tilavuuden arviointiin ja mittaamiseen. 

Viimeisenä tehtävänä saimme omenan, jonka tilavuus tuli mitata. Koska pöydällä oli vettä, mittasimme ensin omenan tilavuuden Annin kanssa upottamalla ja saimme selville tilavuuden olevan 137 ml. Ohjeena oli kuitenkin käyttää ei-standardeja mittayksiköitä. joten otimme esille pöydältä löytyneen muovailuvahan ja yritimme muovailla muovailuvahasta samanmuotoisen ja -kokoisen omenan kuin mallimme. Sen jälkeen teimme muovailuvaha-omenasta kuution ja mittasimme vaaleanpunaisilla värisauvoilla omenan tilavuutta. 

Näin mittayksikkömuunnosten opiskelu etenee vähä vähältä ekasta luokasta alkaen, vaikkei oppilailla olekaan vielä käytössä standardisoituja mittayksiköitä. Ymmärrys mittayksikkömuunnoksista kehittyy tällä tavoin edessä ihan varmasti!