Kymmenkertainen, satakertainen.. kymmenesosa, sadasosa..

Desimaalilukujen kanssa työskennellessämme olemme oppilaiden kanssa päässeet kymmenellä kertomiseen ja jakamiseen. Viikon verran olemmekin kymmenkertaistaneet, satakertaistaneet ja tuhatkertaistaneet lukuja, sekä vastaavasti ottaneet luvuista kymmenesosia, sadasosia ja tuhannesosia.. Miten tuohon viikko menee? Kunhan vaan pilkkua siirtää...
Pilkkua siirtämällä aiheesta olisi päässyt nopeasti eteenpäin, mutta mihin olisi jäänyt oppilaiden ymmärrys kymmenjärjestelmästä, jonka ymmärtämisen syventäminen on ainakin Espoon opsissa mainittu painokkaasti..

Aiempina vuosina olemme kymmenkertaistaneet kymmenjärjestelmävälineillä lukuja paljon. Nyt mukana olivat kuitenkin desimaaliosat ja aluksi piti taas muistutella mieliin, miten homma toimikaan. Hieman ehti jo tulla epätoivokin, mutta tarvittiin hetken tuumailutauko ja vaikka edellisenä päivänä tuntui, että homma polkee paikallaan, olikin seuraavana aamuna oppilailla kädet pystyssä ja kymmenkertaistaminen, kymmenesosa, sadakertaistaminen ja sadasosa olivatkin hyvin hallussa!

Kerratessamme asiaa yhdessä kaikki oppilaat käyttivät kymmenjärjestelmävälineitä. Itsenäisen harjoittelun aikana oppilaat saivat itse valita käyttävätkö pöydällä olevia välineitä vai eivät. Kymmenjärjestelmävälineet ovat luokassamme jatkuvasti saatavilla, sillä asioiden selittäminen ongelmatilanteessa olevalle oppilaalle on niiden avulla helppoa. Moni oppilas tukeutuukin välineisiin haastavampien tehtävien kohdalla ollessaan epävarma siitä, miten lasku menee. Tärkeintä kuitenkin on, että jokainen oppilas oikeasti osaa kymmenkertaistaa tai jakaa kymmenenellä luvut ja ymmärtää luvun suuruusluokan. Pilkun siirtämisestä ei luokassamme ole puhua pukahdettu, jollekin oli asia kotona harmikseni opetettu, mutta hänet hyssyteltiin hiljaiseksi samantien.

Kun kymmenkertaistaminen alkoi sujua, päätin pistää oppilaiden päät heti sekaisin ja seuraavalla tunnilla luokassa olikin kymmenjärjestelmävälineiden sijaan mitta-astioita (ml, cl, dl, l ja dal). Se, että litra on 10 dl muistui mieleen nopeasti, samoin kuin, että millilitroja tarvitaan desilitraan 100. Senttilitra oli oppilaille uusi mittayksikkö, mutta sillekin löysimme paikan. Nimeä senttilitralle piti etsiä jonkin aikaa, kunnes oppilaat hoksasivat pituuden yksiköiden etenevän milli, sentti, desi jne. joten kai sama toimii litroissakin? 

Isot vetomitat ovat yleensä vaikeita, koska hehtolitroja ja kilolitroja ei käytetä juuri lainkaan. Minun oppilailleni ne eivät kuitenkaan tuottaneet vaikeuksia. 3. luokalla täytimme vedellä hehtolitran kokoisen saavin, viime vuonna emme saavia enää uudelleen täyttäneet, mutta oppilaani kokeilivat, kuka mahtuu hehtolitran saaviin... Nyt olikin helppo palata aiempaan kokemukseen: "Ainiin hehtolitra on se musta saavi mihin Peppi (nimi muutettu) ja Tommi (nimi muutettu) mahtuivat!"

4. luokalla hehtolitran saavia ei enää täytetty, koska se oli 3. luokalla täytetty
vedellä, mutta oppilaat innostuivat kokeilemaan kuka mahtuu saaviin. Tähän
muistoon oli helppo palata ja kaikki muistivat millainen on hehtolitra.

Puhuimme moneen kertaan auki mittayksikkö muunnokset vetomitoilla: ml kymmenkertaisena on senttilitra, senttilitra satakertaisena on litra, litran kymmenesosa on desilitra.

Vauhtiin päästyään oppilaat halusivat innoisaan kymmenkertaistaa ja satakertaistaa myös pituusmittoja sekä massan mittayksiköitä. 

Kaikki koottiin vihkoihin taulukkoon, jossa yksiköt olivat päällekkäin. Eri mittayksiköiden taulukointi samaan taulukkoon auttoi oppilaita ymmärtämään kuinka kymmenjärjestelmävälineillä opittu kymmenkertaistaminen toimii mittayksiköillä. Ja oppilaat osasivat vähitellen sanoittaa kokemuksiaan siitä, kuinka kymmenkertaistaessa mittayksikkö "kasvaa" ja jaettaessa kymmenellä mittayksikkö "pienenee". 

Seuraavalla tunnilla otimme pituuden mittayksiköt harjoitteluun, sillä niiden parissa on aiemmin työskennelty eniten. Oppilaat työskentelivät pareittain Hannele Ikäheimon Mittayksikkökorteilla. Mittayksikkökorteista oppilaat lähtivät etsimään tuttuja mittayksiköitä ja yhdistivät ne lyhenteisiin. Sen jälkeen pakasta löytyi tukipisteet eri mittayksiköille, esim. risteilyalus on noin hehtometrin pituinen ja mökki dekametrin levyinen. Mittayksikkökortit toimivat hyvänä kertauksena ja oppilaat innostuivat työskentelemään myös edellisellä tunnilla työstettyjen vetomittojen korteilla sekä massan yksiköillä.

Pituuden mittayksikkökortit taulukoituna.

Tunnin lopuksi pelasimme peliä, joka on muunnelma eräällä Unkarissa seuraamallani oppitunnilla pelatusta pelistä. Oppilailla oli kiekko, jossa oli vetomitat, pituuden tai massan mittayksiköt tai numeroilla merkittynä 0,001-1000000. Peliin oppilas tarvitsi lisäksi läpinäkyviä laskukiekkoja kourallisen. 

"Peitä luku, joka on sadaosa kymmenestä." Oppilas peitti alustaltaan 0,1. "Tuhatkertaista äsken peittämäsi luku." Ja siten oppilas jatkoi lukunsa kertomista tai jakamista kunnes alustalla oli enää yksi luku peittämättä. Sama toimi esimerkiksi pituusmitoilla siten, että pyysin oppilaita ensin peittämään metrin kymmenesosan ja sen jälkeen satakertaistamaan edellisen mittayksikön jne.

Peli sujui hyvin ja oppilaat löysivät kätevästi alustaltaan oikeat luvut/mittayksiköt. Tämä harjoitus toimi jo hyvinkin abstraktilla tasolla ja tämän avulla oli helppo huomata luokassa kierrellessään, oliko oppilas ymmärtänyt asian vai vieläkö tarvitaan lisää harjoitusta.

Harjoituksessa kerto- ja jakolaskut ketjutettiin ja peitettiin
aina se luku/mittayksikkö, joka tuli vastaukseksi.

Olemme mitanneet oppilaideni kanssa paljon 3. luokan jälkeen. Kun oppilaat ovat saaneet riittävästi kokemuksia mittaamisesta, on mittayksiköiden kanssa pelaaminen helpompaa ja oppilaat ymmärtävät mitä tekevät. Oppilaille on muodostunut ajatus eri mittayksikköjen suuruudesta: rusinan massa on gramma, millilitra vettä on iso pisara kämmenenellä, senttilitra ei riitä helpottamaan janoa, desimetri on peukalon ja etusormen väli, hehtometrin matkan jaksaa vielä juosta täysiä, mutta ihan helppoa se ei ole...

Ennen seuraaviin aiheisiin siirtymistä pelasimme vielä pikalukuhippaa mittayksikkökorteilla: Hipan saatua kiinni molemmat näyttivät korttinsa, se kumpi nimesi mittayksikön ensimmäisenä sai kortin itselleen. Toinen tuli hakemassa uuden kortin.

Kun kaikilla oli yksi mittayksikkökortti (ensimmäisellä kierroksella pituuden mittayksiköitä), jaoin oppilaat kahteen ryhmään. Ensin oppilaat järjestäytyivät jonoon pienimmästä yksiköstä suurimpaan. Sen jälkeen he lähtivät pohtimaan mitä pitää tehdä, jotta pienimmästä yksiköstä tulee jonossa seuraava ja jälleen seuraava. Koska oppilaat oli jaettu kahteen ryhmään, ei samassa ryhmässä ollut kaikkia mittayksiköitä, eivätkä ne olleet kaikki perättäisiä. Kun oppilaat olivat saaneet hetken aikaa puhua asiaa auki keskenään, esittelivät he oman jononsa muille tähän tapaan:

- Millimetri pitää satakertaistaa, jotta siitä tulee desimetri.
- Desimetri pitää kymmenkertaistaa, jotta siitä tulee metri.
- Metri pitää satakertaistaa, jotta siitä tulee hehtometri.
- Hehtometri pitää kymmenkertaistaa, jotta siitä tulee kilometri.
Ja sitten mentiin tietenkin jono toiseen suuntaan..
- Kilometri pitää jakaa kymmenellä, niin siitä tulee hehtometri.
- Hehtometri pitää jatkaa sadalla, niin siitä tulee metri... jne...

Tämän harjoituksen jälkeen saatoin todeta, että nyt tämä asia todella osataan, koska oppilaat lopottivat oman ryhmänsä jonon tuosta vain molempiin suuntiin ja mikä tärkeintä ymmärtävät mitä tekevät. Kannatti käyttää aikaa reilu viikko kymmenellä kertomiseen ja jakamiseen sekä mittayksiköihin!

Seuraava savotta onkin sitten desimaalilukujen kerto- ja jakolasku. Kertolaskusta oppikirja neuvoo suoraan laskemaan desimaalien lukumäärän kertolaskusta ja laittamaan vastaukseen yhtä monta.. Miksi näin tehdään? Mistä tämä sääntö tulee? Mihin jää ymmärrys, jos lapsi laskee 7 x 0,7 ajattelemalle 7x7=49 ja yksi desimaali, siispä 4,9?

Kymmenjärjestelmävälineille löytyy siis käyttöä ensikin viikolla :)

                                                          

Kymmenkertainen ja kymmenesosa

Kymmenkertaistamista ja kymmenesosan ottamista on harjoiteltu luokassa parin viikon ajan ahkerasti. Monikertaistamiseen lähdimme lumilinnojen avulla, sillä olihan viime viikolla Espoossakin täysi talvi. 

Aloitimme monikertaistamisen rakentamalla yhdestä linkkukuutiosta lumilinnan, se kolminkertaistettiin, kolminkertaistettiin ja vielä kerran kolminkertaistettiin. Hieman oli monikertaistaminen aluksi ruosteessa, mutta kun rakensimme ja samalla puhuimme mitä teemme niin alkoi homma vähitellen sujua. Samalla liikuttiin toki myös toiseen suuntaan ja keskusteltiin siitä, että 9 linkkikuution lumilinna on kolmasosa 27 linkkikuution lumilinnasta jne.

Kaikki oppilaat pääsivät rakentamaan lumilinnaa linkkikuutioista, lisäksi Smartille täydensin kuvaa rakenntuista lumilinnoista koko ajan tehtävän edetessä. Lumilinnojen rakentaminen toimi hyvänä alkulämmittelynä aiheeseen.

Jatkoimme aiheen työstämistä kymmenjärjestelmävälineillä. Kymmenkertaistimme aluksi ykköstä useita kertoja, sitten myös muita lukuja. Kymmenkertaistamisen ja kymmenesosanhan voisi opettaa nopeasti ohjeella lisää nollia tai siirrä pilkkua, mutta silloin harvempi oppilas oikeasti ymmärtää mitä tapahtuu. Kävimme kymmenkertaistamisen ihan pohjamutia myöden läpi, eli kun kymmenkertaistimme vaikkapa luvun neljä, otimme aluksi kymmenen neljän ykköskuution kasaa alustalle ja vaihdoimme sen jälkeen ne neljäksi kympiksi, kunhan hitaimmatkin laskijat olivat ehtineet todeta, että niistä tosiaan saa neljä kymppisauvaa koottua. 

Kun rutiini alkoi löytyä ja oivallukset syntyä, teimme kymmenkertaistamista nopeammalla tahdilla ja otimme suoraan kymppejä, satasia ja tuhansia ilman, että teimme aluksi näkyviin kymmenkertaista määrää. Sen tekeminen aluksi näkyville, oli kuitenkin ehdottoman tärkeää heikoille laskijoille, jotta heidän ei tarvinnut vain hyväksyä sitä mitä nopeammat laskijat sanovat vaan he saivat myös itse todeta asian olevan niin, että esim. kymmenen neljän kymppisauvan kasaa on sama asia kuin neljä satalevyä. 

Luku 24 kymmenkertaistettuna ja vielä kerran kymmenkertaistettuna,
eli satakertaistettuna.

Kun kymmenkertaistamista, satakertaistamista ja tuhatkertaistamista oli harjoiteltu kymmenjärjestelmävälineillä ja homma alkoi toimia, laitoimmekin pakan sekaisin ja vaihdoimme välineiksi rahan. Osa oppilaista vaihtoi sujuvasti välinettä, toisilla taas vei hetken ennen kuin osaaminen siirtyi välineestä toiseen. Mutta jälleen tuli todistettua, että raha motivoi oppilasta kuin oppilasta iästä riippumatta. 

Jonkin aikaa rahoilla yhdessä harjoiteltuamme oppilaat taulukoivat rahoja. Heillä itsellään oli rahaa x summa, pikkusiskolla oli kymmenesosan heidän rahoistaan, isoveljellä kymmenkertainen määrä, äidillä kymmenkertainen määrä verrattuna isoveljeen ja isällä kymmenkertainen määrä äitiin verrattuna. Kuinka paljon perheenjäsenillä on rahaa? Eikun töihin...

Oppilailla oli muutamia rahasummia merkittynä, mutta tehtävässä oppilaat itse pääasiassa päättivät mikä on lähtöluku,
josta he aloittavat kymmenkertaistamisen tai kymmenellä jakamisen. Tämä antoi heikommille laskijoille mahdollisuuden toimia helpommilla luvuilla ja taitavia laskijoita saatoi haastaa antamalla heille jonkin vaikeamman luvun. 4. luokkalaiset laskivat kokonaisluvuilla, kun taas taitaville 5. luokkalaisille tarjosin lukuja, joista tuli vastauksiksi myös desimaaliosia.

Kymmenkertaistimme myös pituusmittoja. Leväytimme luokan lattialle ison voimapaperirullan. Oppilaat työskentelivät kolmen oppilaan ryhmissä ja piirsivät aluksi paperille 36 mm pitkän janan. Pyysin kymmenkertaistamaan janan pituuden. Se sujui helposti, nopeimmat kirjoittivat pituuden ylös sekä millimetreinä että senttimetreinä. Ja taas kymmenkertaistettiin..

360 cm kymmenkertaistaminen ei onnistunutkaan enää luokassa, mutta mittasimme kymmenkertaisen jatkan mittapyörällä koulun käytävään. Kymmenkertaistamista tuli harjoiteltua paljon ja samalla pohjustimme jo mittayksiköiden muunnoksia. Neljäsluokkalaisten kanssa keskustelua käytiin vähän, mutta muutama viidesluokkalainen hoksasi, että 36 mm x 10 = 36 cm, joka kymmenkertaistettuna on 36 dm ja kun jälleen kymmenkertaistetaan on tuloksena 36 m.

Yhtenä viikon matikan läksynä oppilailla oli pistepaperille kolminkertaistaa
pinta-ala. Eipä ollutkaan ihan helppo tehtävä..

Kun kymmenkertaistamista oli harjoiteltu erilaisilla välineillä ja kokemuksia asiasta oli riittävästi, siirryimme kynäpaperitehtäviin aiheen parissa. Oppilaat saivat tehtäväkseen täydentää taulukkoa. Kun taulukkoa oli jonkin aikaa täydennetty, kyselin huomasivatko oppilaat jotakin... Ja olivathan he huomanneet! Jälleen oli niitä hetkiä, kun opettaja hihkuu riemusta, kun oppilas osasi selittää "No, se luku aina kymmenkertaistuu noissa ensimmäisissä ja kahdesta eurosta kahteen sataan euroon se satakertaistuu." 

Taulukon tavoitteena oli saada oppilaat huomaamaan, että luvut kymmen-
ja satakertaistuvat. Lisäksi harjoiteltiin kertolaskun osittamista, jotta kaikki
taulukon laskut voidaan laskea päässälaskuna ilman turvautumista allekkain-
laskuun. 

Tällaista on puuhattu 4.-5. luokan matikan tunneilla viime viikolla. Vielä ahkeroimme kuun loppuun lukualueen 0-10 000 ja päässälaskustrategioiden parissa. Joulukuun olen ajatellut omistaa geometrialle!