Geometrian jakso on meneillään ja geometrianhan pitäisi juuri olla sitä tekemistä ja kokeilemista. Käytönnönläheistä ja mukavaa tekemistä. Ainakin alakoulussa.. Katselin oppikirjan kulmia käsittelevää aukeamaa ja jäin pohtimaan miksi oppilas kokisi tarvetta ja halua mitata kirjassa olevat kulmat.. Toki tunnollinen opettaja tekee mitä opettaja tahtoo, mutta kaipasin aiheeseen jotakin muuta kiinnostusta herättelevää..
Lähdimme siis liikkeelle siitä, että jokainen oppilas piirsi väripaperille itselleen kolmion, jota leikattiin irti. Kertasimme mitä tarkoittaa kulma eli että kulma on siellä kolmion sisällä, eikä kulma ole suinkaan kärki niin kuin monesti virheellisesti saatetaan osoittaa. Aiempina vuosina kulmista olemme oppineet suoran kulman, muut kulmat ovat olleet pienempiä tai suurempia kuin suora kulma. Nyt tutustuimme astelevyn käyttöön ja jokainen sai ensimmäiseksi tehtäväksi mitata oman kolmionsa kulmat astelevyllä.
Oppilaiden mitattua kolmion kulmat pyysin heitä laskemaan kolmion kulmien summan. Nopeimmat oppilaat leikkasivat lisää kolmioita ja mittasivat myös niiden kulmat. Tunnin lopuksi kirjasimme ylös taululle millaisia kolmion kulmien summia oppilaat olivat saaneet. Kirjatessani summia ylös heräsi luokassa jo kysymys "Onko nuo aina jotain 180?" Hmm.. niin tosiaan onko?
Läksyksi oppilaat saivat tutkia esittämäänsä kysymystä. Voiko piirtää kolmion, jonka kulmien summa on yli 200 astetta? Entä voiko piirtää ihan pienen kolmion, jonka kulmien summa on lähellä 100 astetta?
Kotona oli kolmioita tutkittu ja piirretty, ilmeisesti kukaan vanhemmista ei ollut mennyt möläyttämään mitään, sillä seuraavalla matikan tunnilla oppilaat totesivat, ettei kukaan ollut onnistunut annetussa läksyssä. Minulle myös tomerasti selitettiin, ettei kolmion koolla ole mitään tekemistä kulmien summan kanssa, sillä vaikka yksi kulma olisi todella pieni, ovat kaksi muuta silloin suuria.
Kertasimme vielä astelevyn käyttöä siten, että jokainen kolmen oppilaan ryhmä sai yhden ison paperista leikatun kolmion. Ryhmän jokaisen jäsenen piti mitata kolmiosta yksi kulma ja samalla selostaa muille mitä tekee ja miten mittaaminen tapahtuu. Kun ryhmät olivat mitanneet kolmionsa, otti yksi ryhmän jäsenistä sakset ja leikkasi juuri huolella mitatut kulmat irti. Asettelimme kolmion kulmat vierekkäin pöydälle ja kävimme kiertämässä luokassa. Mitä kummaa? Kaikkien kulmista tuli "suora viiva" eli 180 asteen kulma..
Näin saimme todistettua edellisen päivän havainnon: kolmion kulmien summa on aina 180 astetta. Samalla keskustelimme myös mittaustarkkuudesta eli siitä miksi saadut summat vaihtelivat 178-184 välillä.
Työskentely jatkui nelikulmioiden parissa. Jokainen haki jälleen paperia ja piirsi itselleen nelikulmion, jonka kulmat taas mitattiin. Nelikulmion kulmien summa piti jälleen laskea. Eräs erinomaisen terävillä hoksottimilla varustettu oppilaani tuskaili oman nelikulmionsa mittaamisen kanssa ja hänen kanssaan syntyi erinomainen keskustelu:
- Tässä on jokin väärin!
- Ai, miten niin?
- No, kun tästä tulee 362 astetta, eikä se voi olla niin.
- Ai, miksei voi?
- No, kun jos se kolmio on aina 180, niin tän on pakko olla 360?
- Ai, miten niin?
- No, kun niin se vaan pitää olla. (Samalla oppilas pyörii vuorotellen 180 ja 360 asteen käännöksiä ja yrittää havainnollistaa minulle, että näin se vain pitää olla).
- Miksi sen kulmien summan pitää kaksinkertaistua? Eihän siihen tule kuin yksi kulma lisää..
Oppilas raapi päätään ja jäi pohtimaan miten tämä homma nyt oikein sitten meneekään.
Kun kaikki olivat päässeet siihen vaiheeseen, että nelikulmion kulmat oli mitattu, leikattiin myös nelikulmion kulmat pois ja laitettiin samaan tapaan vierekkäin kuin kolmion kulmat.
Sama oppilas, joka oli jo aavistellut mitä tulee tapahtumaan, totesikin tyytyväisenä:
- Kato nyt ope, kyllä tää vaan oli 360 astetta vaikka sä kovasti sitä epäilit..
Ja niin oli muillakin 360 asteen kulma, kun kaikki nelikulmion kulmat yhdistettiin riippumatta siitä minkä muotoinen tai kokoinen alkuperäinen nelikulmio oli ollut.
Seuraava kysymys olikin: Miksi kulmien summa kaksinkertaistuu vaikka kulmia tulee vain yksi lisää?
Leikkasimme tunnin lopuksi vielä yhdet nelikulmiot. Kyselin oppilailta minkä muotoiset palat syntyvät, jos leikkaan nelikulmion puoliksi näin, entä näin? Hups, kulmasta kulmaan leikkaamalla syntyy kaksi kolmiota. Mikä olikaan kolmion kummien summa? Entä jos kolmioita on kaksi?
Jokainen sai vielä leikata yhden nelikulmion kulmasta kulmaan kahdeksi kolmioksi ja todeta itse, että asia tosiaan on niin kuin yhdessä totesimme.
Huomenna testaan ennen seuraavaan aiheeseen siirtymistä, mitä oppilaille on jäänyt mieleen. Saavat 2-3 hengen ryhmissä ratkaista seuraavat kolme tehtävää.
1. Mittaa kolmion kulmat ja laske summa. (Käytössä astelevy ja kartongista leikattu kolmio.)
2. Kolmiosta on revennyt yksi kulma. Kuinka suuri revennyt kulma on? (Käytössä tuo revennyt kolmio ja astelevy. Ratkaisuvaihtoehtoja on useampia, jos ryhmä ei muista kolmion kulmien summan olevan 180 voivat he piirtää kolmion paperille ja jatkaa kolmion sivuja niin, että revennyt kulmat saadaan piirrettyä.)
3. Nelikulmiosta on piirretty vain yksi kulma, joka on 92 astetta. Mitkä voisivat olla muiden kulmien suuruudet? (Jälleen useita ratkaisuvaihtoehtoja. Luvut voi vain keksiä, jos muistaa summan olevan 360 tai tehtävän voi ratkaista piirtämällä ja mittaamalla.)
